Minggu, 15 April 2012

Soal dan Pembahasan Integral

Soal-soal ini ditujukan untuk murid  yang request sedang belajar menjelang UN, karena mendadak, jadi masih sedikit soal dan pembahasannya. Kalo ada soal yang masih belum jelas, boleh langsung di comment atau kirim email…okey!

1. \int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx adalah…
a. \frac 27.\sqrt x(x^3-7) +c
b. \frac 27.\sqrt x(x^3+7) +c
c. \frac 17.\sqrt x(x^3+7) +c
d. \frac 17.\sqrt x(x^3-7) +c
e. \frac 27.\sqrt x(x^3+1) +c
jawab:
\int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx  karena penyebut satu suku,maka pisahkan fungsi pembilangnya
\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx & = &\int(\frac{x^3}{\sqrt x} - \frac{1}{\sqrt x})dx\\ & = &\int \frac{x^3}{x^{\frac 12}}dx - \int\frac{1}{x^{\frac 12}}dx\\ & = &\int x^{\frac 52}dx - \int x^{-\frac 12}dx\\ & = &\frac{1}{\frac 52+1}.x^{\frac 52+1} - \frac{1}{-\frac 12+1}.x^{-\frac 12+1}+c\\ & = &\frac{1}{\frac 72}.x^{\frac 72} - \frac{1}{\frac 12}.x^{\frac 12}+c\\ & = &\frac 27.x^{\frac 72} - 2x^{\frac 12}+c\\ & = &\frac 27.x^3.\sqrt x-2.\sqrt x+c\\ & = &\frac{2}{7}\sqrt x (x^3-7)+c\end{align*}

2.\intop_{1}^{2}(4x^3+3x^2+2x+1)dx = …
a. 10
b. 16
c. 20
d. 26
e. 35
jawab:
\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\intop_{1}^{2}(4x^3+3x^2+2x+1)dx & = &\left[\frac 44.x^4+\frac 33.x^3+\frac 22.x^2+x\right]_{1}^{2}\\ & = &\left[x^4+x^3+x^2+x\right]_{1}^{2}\\ & = &(2^4+2^3+2^2+2)-(1^4+1^3+1^2+1)\\ & = &30-4\\ & = &26\end{align*}

3. \intop_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(cosx-sinx)dx = …
a. \frac 12(3-\sqrt 2)
b. \frac 12(3+\sqrt 2)
c. \frac 12(3-\sqrt 3)
d. \frac 12(1+\sqrt 3)
e. \frac 12(1-\sqrt 3)
jawab :
\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\intop_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(cos\;x-sin\;x)dx & = &\left[sin\;x-(-cos\;x)\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\\ & = &\left[sin\;x+cos\;x\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\\ & = &(sin(\frac{\pi}{2})+cos(\frac{\pi}{2}))-(sin(\frac{\pi}{3}+cos(\frac{\pi}{3}))\\ & = &(1+0)-(\frac 12\sqrt 3+\frac 12)\\ & = &\frac 12-\frac 12\sqrt 3\\ & = &\frac 12(1-\sqrt 3)\end{align*}

4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi kurva y=1-\frac{x^2}{4}, sumbu x, sumbu y, dan diputar mengelilingi sumbu x adalah…
a. \frac{52}{15}\pi
b. \frac{16}{12}\pi
c. \frac{16}{15}\pi
d. \frac{32}{15}\pi
e. \frac{12}{15}\pi
jawab :
* mencari batas kurva
* untuk kurva y_1=1-\frac{x^2}{4}
* sumbu x maka y_2=0
\begin{array}{rcl} y_1 & = &y_2\\1-\frac{x^2}{4} & = &0\:kalikan\:4\\4-x^2 & = &0\\(2-x)(2+x) & = &0\\x_1=2 & V&x_2=-2\end{array}

Volume=\pi\intop_{-2}^{2}(1-\frac{x^2}{4})^2dx    ingat  (a+b)^2=(a^2-2ab+b^2)
\dpi{100} \bg_white \begin{align*} Volume & = &\pi\intop_{-2}^{2}(1-\frac 14.x^2)^2dx\\ & = &\pi\intop_{-2}^{2}(1-\frac 12.x^2+\frac{1}{16}.x^4)dx\\ & = &\pi\left[x-\frac{\frac 12}{3}.x^3+\frac{\frac {1}{16}}{5}.x^5\right]_{-2}^{2}\\ & = &\pi\left[x-\frac 16.x^3+\frac{1}{80}.x^5\right]_{-2}^{2}\\ & = &\pi[(2-\frac 16(2^3)+\frac{1}{80}(2^5)-((-2)-\frac 16(-2)^3+\frac{1}{80}(-2)^5)]\\ & = &\pi[(2-\frac 86+\frac{32}{80})-(-2+\frac 86-\frac{32}{80})]\\ & = &\frac{32}{15}\pi\:\:satuan\:volume\end{align*}

Integral Substitusi

Yuuuuuuk belajar lagi…!!!!
Kali ini khusus kita bahas tentang integral subtitusi, contoh soal dan pembahasannya ok…!!!
Jangan sampai ketinggalan ya…

Jika suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan suatu bilangan rasional tak nol, maka

\int {\color{Red} (u(x))^r.\;u'(x)}\;dx={\color{Red} \frac {1}{r+1}(u(x))^{r+1}+c}   di mana c   adalah konstanta dan r\neq -1


Nah…udah lihat rumus integral yang di atas sono tuh…???
Pusing,tidak..??? hehehe…lebih baik langsung ke contoh aja  ya….
contoh soal dan pembahasan integral subtitusi :
 1.   \int (5x-3)^4dx=....
Jawab :
*  kita misalkan u=5x-3  dan fungsi u dapat diturunkan menjadi
\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 5x-3}\\\frac{du}{dx}&=&5\\dx&=&{\color{Blue} \frac 15\;du} \end{align*}
*  Baru kita subtitusikan ke soal :
\begin{align*}\int({\color{Red} 5x-3})^4{\color{Blue} dx}&=&\int {\color{Red} u}^4.{\color{Blue} \frac 15\;du}\\&=&{\color{Blue} \frac 15}.\frac{1}{4+1}.{\color{Red} u}^{4+1}+C\\&=&\frac{1}{25}\;{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac{1}{25}\;({\color{Red} 5x-3})^5+C\end{align*}
Jangan sampai lupa untuk mengembalikan permisalan kita  u={\color{Red} 5x-3}    ya…..
2.  \int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx=...
Jawab :
*  kita misalkan  u=3x^2-3x+5   dan fungsi u dapat diturunkan menjadi :
\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 3x^2-3x+5}\\\frac {du}{dx}&=&6x-3\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\end{align*}
 *  Baru kita subtitusikan ke soal :
\begin{align*}\int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx&=&\int (2x-1).{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\\&=&\int \frac{2x-1}{{\color{Blue} 3(2x-1)}}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{3}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 13.\frac{1}{8+1}.{\color{Red} u}^{8+1}+C\\&=&\frac{1}{27}.{\color{Red} u}^9 +C\\&=&\frac{1}{27}({\color{Red} 3x^2-3x+5})^9+C\end{align*}
3.   \int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx=...
Jawab :
*  kita misalkan u=2x^3+1  dan fungsi u dapat diturunkan menjadi
\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 2x^3+1}\\\frac{du}{dx}&=&6x^2\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du} \end{align*}
*  Baru kita subtitusikan ke soal :
\begin{align*}\int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx&=&\int x^2.\sqrt{{\color{Red} u}}\;.{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du}\\&=&\int \frac{x^2}{{\color{Blue} 6x^2}}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{6}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 16.\frac{1}{\frac 12+1}\;{\color{Red} u}^{\frac 12+1}+C\\&=&\frac 16.\frac 23\;{\color{Red} u}^{\frac 32}+C\\&=&\frac 19\;{\color{Red} u}\sqrt {\color{Red} u}+C\\&=&\frac 19({\color{Red} 2x^3+1})\sqrt{{\color{Red} 2x^3+1}}+C\end{align*}
4.   \int sin\;x.cos^2x\;dx  = …
Jawab :
* kita misalkan u=cos\;x  maka
 \begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} cos\;x}\\\frac{du}{dx}&=&-sin\;x\\du&=&-sin\;x\;dx \end{align*}
*sehingga :
\begin{align*}\int sin\;x.{\color{Red} cos}^2{\color{Red} x}\;dx&=&\int -{\color{Red} u}^2\;du\\&=&-\frac 13.{\color{Red} u}^3+C\\&=&-\frac 13.{\color{Red} cos}^3{\color{Red} x}+C\end{align*}
5.   \int cos\;5x\;sin^4\;5x\;dx=  …
Jawab :
* kita misalkan u=sin\;5x   maka :
\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} sin\;5x}\\\frac{du}{dx}&=&5.cos\;5x\\\frac{du}{5}&=&cos\;5x\;dx\end{align*}
*sehingga :
\begin{align*}\int cos\;5x\;{\color{Red} sin}^4\;{\color{Red} 5x}\;dx&=&\int \frac 15.{\color{Red} u}^4\;du\\&=&\frac 15.\frac 15.{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac {1}{25}{\color{Red} sin}^5\;{\color{Red} 5x}+C\end{align*}
Wheheheehe…latihan soal dan pembahasan integral subtitusi aljabar dan trigonometrinya dicukupkan dulu yaaaaaa….kapan-kapan ditambah lagi soalnya….
Selamat belajar ………..!!!!
sumber: www.meetmath.com

Integral Trigonometri

Ayooooo….belajar trigonometri lagi…!!!!!
kali ini pada materi integral …
Setelah belajar tentang Integral fungsi aljabar kemarin, kini menginjak ke Integral Trigonometri yuuuuk….

Integral Trigonometri

\int cos(ax+b)\;dx=\frac 1a\;sin(ax+b)+C
\int sin(ax+b)\;dx=-\frac 1a\;cos(ax+b)+C
\int sec^2(ax+b)\;dx=\frac 1a\;tan(ax+b)+C
\int cosec^2(ax+b)\;dx=-\frac 1a\;cot(ax+b)+C

Ingat kembali sifat-sifat integral di materi Integral sebelumnya, lalu  kita amati contoh soal integral trigonometri berikut ini :
\begin{align*}1.\;\;\int sin\;4x\;dx&=&-\frac 14\;cos\;4x+C \end{align*}

\begin{align*}2.\;\;\int cos\;(7x-5)\;dx&=&\frac 17\;sin\;(7x-5)+C \end{align*}

\begin{align*}3.\;\;\int 3\;sin\;(2-6x)\;dx&=&-\left (\frac{3}{-6} \right )\;cos\;(2-6x)+C\\&=&\frac 12\;cos(2-6x)+C \end{align*}

\begin{align*}4.\;\;\int \left (sin\;2x-3\;cos\;5x \right )dx&=&-\frac 12\;cos\;2x-\frac 35sin\;5x+C \end{align*}

Setelah paham dengan rumus dan sifat-sifat integral, syarat yang lain untuk bisa mengerjakan integral trigonometri yaitu harus ingat kembali rumus-rumus trigonometri lho ya…..
hayoooo hafal gak,neh..???
Coba perhatikan  latihan soal dan pembahasan integral trigonometri berikut ini yuuuukk….

1.   \int sin^2\;3x\; dx = …..
untuk mengerjakan soal diatas, kita pakai  rumus trigonomtri
 {\color{Red} sin^2\;x=\frac 12-\frac 12\;cos\;2x}   sehingga
 \begin{align*}sin^2\;3x&=&\frac 12-\frac 12\;cos\;2(3x)\\&=&\frac 12-\frac 12\;cos\;6x \end{align*}
Maka :
\begin{align*}\int sin^2\;3x\;dx&=&\int \left (\frac 12-\frac 12\;cos\;6x \right )dx\\&=&\frac 12x-\frac 12.\frac 16\;sin\;6x+C\\&=&\frac 12x-\frac{1}{12}\;sin\;6x+C \end{align*}

2.   \int \;sin\;5x.cos\;3x\;dx = …
nah, yang ini pakai   {\color{Red} sin\;x.cos\;y=\frac 12.sin(x+y)+\frac 12.sin(x-y)}
sehingga :
 \begin{align*}sin\;5x.cos\;3x&=&\frac 12.sin(5x+3x)+\frac 12.sin(5x-3x)\\&=&\frac 12.sin\;8x+\frac 12.sin\;2x \end{align*}
maka :
\begin{align*}\int sin\;5x.cos\;3x\;dx&=&\int \left (\frac 12.sin\;8x+\frac 12.sin\;2x \right )dx\\&=&-\frac 12.\frac 18.cos\;8x+\frac 12.\frac 12.\left (-cos\;2x \right )+C\\&=&-\frac{1}{16}\;cos\;8x-\frac 14\;cos\;2x+C \end{align*}
3.   \int 6\;sin\;4x.sin\2x\;dx = …
ingat   {\color{Red} sin\;x.sin\;y=-\frac 12.cos(x+y)+\frac 12.cos(x-y)}
sehingga :
\begin{align*}sin\;4x.sin\;2x&=&-\frac 12.cos(4x+2x)+\frac 12.cos(4x-2x)\\&=&-\frac 12.cos\;6x+\frac 12.cos\;2x \end{align*}
maka :
\begin{align*}\int 6\;sin\;4x.sin\;2x\;dx&=&\int 6\left ( -\frac12.cos\;6x+\frac12.cos\;2x \right )dx\\&=&\int \left (-3.cos\;6x+3.cos\;2x \right )dx\\&=&-3.\frac16.sin\;6x+3.\frac12.sin\;2x+C\\&=&-\frac12\;sin\;6x+\frac32\;sin\;2x+C\end{align*}
4.  \int \left ( cos\;x+sin\;x \right )\left ( cos\;x-sin\;x \right )dx  = …. ???
ingat   :
 \begin{align*}\left ( cos\;x+sin\;x \right )\left ( cos\;x-sin\;x \right )&=&cos^2\;x-sin^2\;x\\&=&cos\;2x\; \end{align*}
 maka :
\begin{align*}\int \left ( cos\;x+sin\;x \right )\left ( cos\;x-sin\;x \right )dx&=&\int cos\;2x\;dx\\&=&\frac 12.sin\;2x+C \end{align*}
Nah…terlihat benar kan perbedaan pengerjaannya..???
jadi ingat selalu rumus-rumus trigonometri yang terdahulu yaaa….
ayooo, selalu giat berlatih…
sumber: www.meetmath.com