Minggu, 15 April 2012

Soal dan Pembahasan Integral

Soal-soal ini ditujukan untuk murid  yang request sedang belajar menjelang UN, karena mendadak, jadi masih sedikit soal dan pembahasannya. Kalo ada soal yang masih belum jelas, boleh langsung di comment atau kirim email…okey!

1. \int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx adalah…
a. \frac 27.\sqrt x(x^3-7) +c
b. \frac 27.\sqrt x(x^3+7) +c
c. \frac 17.\sqrt x(x^3+7) +c
d. \frac 17.\sqrt x(x^3-7) +c
e. \frac 27.\sqrt x(x^3+1) +c
jawab:
\int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx  karena penyebut satu suku,maka pisahkan fungsi pembilangnya
\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx & = &\int(\frac{x^3}{\sqrt x} - \frac{1}{\sqrt x})dx\\ & = &\int \frac{x^3}{x^{\frac 12}}dx - \int\frac{1}{x^{\frac 12}}dx\\ & = &\int x^{\frac 52}dx - \int x^{-\frac 12}dx\\ & = &\frac{1}{\frac 52+1}.x^{\frac 52+1} - \frac{1}{-\frac 12+1}.x^{-\frac 12+1}+c\\ & = &\frac{1}{\frac 72}.x^{\frac 72} - \frac{1}{\frac 12}.x^{\frac 12}+c\\ & = &\frac 27.x^{\frac 72} - 2x^{\frac 12}+c\\ & = &\frac 27.x^3.\sqrt x-2.\sqrt x+c\\ & = &\frac{2}{7}\sqrt x (x^3-7)+c\end{align*}

2.\intop_{1}^{2}(4x^3+3x^2+2x+1)dx = …
a. 10
b. 16
c. 20
d. 26
e. 35
jawab:
\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\intop_{1}^{2}(4x^3+3x^2+2x+1)dx & = &\left[\frac 44.x^4+\frac 33.x^3+\frac 22.x^2+x\right]_{1}^{2}\\ & = &\left[x^4+x^3+x^2+x\right]_{1}^{2}\\ & = &(2^4+2^3+2^2+2)-(1^4+1^3+1^2+1)\\ & = &30-4\\ & = &26\end{align*}

3. \intop_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(cosx-sinx)dx = …
a. \frac 12(3-\sqrt 2)
b. \frac 12(3+\sqrt 2)
c. \frac 12(3-\sqrt 3)
d. \frac 12(1+\sqrt 3)
e. \frac 12(1-\sqrt 3)
jawab :
\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\intop_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(cos\;x-sin\;x)dx & = &\left[sin\;x-(-cos\;x)\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\\ & = &\left[sin\;x+cos\;x\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\\ & = &(sin(\frac{\pi}{2})+cos(\frac{\pi}{2}))-(sin(\frac{\pi}{3}+cos(\frac{\pi}{3}))\\ & = &(1+0)-(\frac 12\sqrt 3+\frac 12)\\ & = &\frac 12-\frac 12\sqrt 3\\ & = &\frac 12(1-\sqrt 3)\end{align*}

4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi kurva y=1-\frac{x^2}{4}, sumbu x, sumbu y, dan diputar mengelilingi sumbu x adalah…
a. \frac{52}{15}\pi
b. \frac{16}{12}\pi
c. \frac{16}{15}\pi
d. \frac{32}{15}\pi
e. \frac{12}{15}\pi
jawab :
* mencari batas kurva
* untuk kurva y_1=1-\frac{x^2}{4}
* sumbu x maka y_2=0
\begin{array}{rcl} y_1 & = &y_2\\1-\frac{x^2}{4} & = &0\:kalikan\:4\\4-x^2 & = &0\\(2-x)(2+x) & = &0\\x_1=2 & V&x_2=-2\end{array}

Volume=\pi\intop_{-2}^{2}(1-\frac{x^2}{4})^2dx    ingat  (a+b)^2=(a^2-2ab+b^2)
\dpi{100} \bg_white \begin{align*} Volume & = &\pi\intop_{-2}^{2}(1-\frac 14.x^2)^2dx\\ & = &\pi\intop_{-2}^{2}(1-\frac 12.x^2+\frac{1}{16}.x^4)dx\\ & = &\pi\left[x-\frac{\frac 12}{3}.x^3+\frac{\frac {1}{16}}{5}.x^5\right]_{-2}^{2}\\ & = &\pi\left[x-\frac 16.x^3+\frac{1}{80}.x^5\right]_{-2}^{2}\\ & = &\pi[(2-\frac 16(2^3)+\frac{1}{80}(2^5)-((-2)-\frac 16(-2)^3+\frac{1}{80}(-2)^5)]\\ & = &\pi[(2-\frac 86+\frac{32}{80})-(-2+\frac 86-\frac{32}{80})]\\ & = &\frac{32}{15}\pi\:\:satuan\:volume\end{align*}
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Label:

Integral Substitusi

Yuuuuuuk belajar lagi…!!!!
Kali ini khusus kita bahas tentang integral subtitusi, contoh soal dan pembahasannya ok…!!!
Jangan sampai ketinggalan ya…

Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka

\int {\color{Red} (u(x))^r.\;u'(x)}\;dx={\color{Red} \frac {1}{r+1}(u(x))^{r+1}+c}   di mana c   adalah konstanta dan r\neq -1


Nah…udah lihat rumus integral yang di atas sono tuh…???
Pusing,tidak..??? hehehe…lebih baik langsung ke contoh aja  ya….
contoh soal dan pembahasan integral subtitusi :
 1.   \int (5x-3)^4dx=....
Jawab :
*  kita misalkan u=5x-3  dan fungsi u dapat diturunkan menjadi
\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 5x-3}\\\frac{du}{dx}&=&5\\dx&=&{\color{Blue} \frac 15\;du} \end{align*}
*  Baru kita subtitusikan ke soal :
\begin{align*}\int({\color{Red} 5x-3})^4{\color{Blue} dx}&=&\int {\color{Red} u}^4.{\color{Blue} \frac 15\;du}\\&=&{\color{Blue} \frac 15}.\frac{1}{4+1}.{\color{Red} u}^{4+1}+C\\&=&\frac{1}{25}\;{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac{1}{25}\;({\color{Red} 5x-3})^5+C\end{align*}
Jangan sampai lupa untuk mengembalikan permisalan kita  u={\color{Red} 5x-3}    ya…..
2.  \int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx=...
Jawab :
*  kita misalkan  u=3x^2-3x+5   dan fungsi u dapat diturunkan menjadi :
\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 3x^2-3x+5}\\\frac {du}{dx}&=&6x-3\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\end{align*}
 *  Baru kita subtitusikan ke soal :
\begin{align*}\int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx&=&\int (2x-1).{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\\&=&\int \frac{2x-1}{{\color{Blue} 3(2x-1)}}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{3}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 13.\frac{1}{8+1}.{\color{Red} u}^{8+1}+C\\&=&\frac{1}{27}.{\color{Red} u}^9 +C\\&=&\frac{1}{27}({\color{Red} 3x^2-3x+5})^9+C\end{align*}
3.   \int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx=...
Jawab :
*  kita misalkan u=2x^3+1  dan fungsi u dapat diturunkan menjadi
\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 2x^3+1}\\\frac{du}{dx}&=&6x^2\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du} \end{align*}
*  Baru kita subtitusikan ke soal :
\begin{align*}\int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx&=&\int x^2.\sqrt{{\color{Red} u}}\;.{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du}\\&=&\int \frac{x^2}{{\color{Blue} 6x^2}}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{6}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 16.\frac{1}{\frac 12+1}\;{\color{Red} u}^{\frac 12+1}+C\\&=&\frac 16.\frac 23\;{\color{Red} u}^{\frac 32}+C\\&=&\frac 19\;{\color{Red} u}\sqrt {\color{Red} u}+C\\&=&\frac 19({\color{Red} 2x^3+1})\sqrt{{\color{Red} 2x^3+1}}+C\end{align*}
4.   \int sin\;x.cos^2x\;dx  = …
Jawab :
* kita misalkan u=cos\;x  maka
 \begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} cos\;x}\\\frac{du}{dx}&=&-sin\;x\\du&=&-sin\;x\;dx \end{align*}
*sehingga :
\begin{align*}\int sin\;x.{\color{Red} cos}^2{\color{Red} x}\;dx&=&\int -{\color{Red} u}^2\;du\\&=&-\frac 13.{\color{Red} u}^3+C\\&=&-\frac 13.{\color{Red} cos}^3{\color{Red} x}+C\end{align*}
5.   \int cos\;5x\;sin^4\;5x\;dx=  …
Jawab :
* kita misalkan u=sin\;5x   maka :
\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} sin\;5x}\\\frac{du}{dx}&=&5.cos\;5x\\\frac{du}{5}&=&cos\;5x\;dx\end{align*}
*sehingga :
\begin{align*}\int cos\;5x\;{\color{Red} sin}^4\;{\color{Red} 5x}\;dx&=&\int \frac 15.{\color{Red} u}^4\;du\\&=&\frac 15.\frac 15.{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac {1}{25}{\color{Red} sin}^5\;{\color{Red} 5x}+C\end{align*}
Wheheheehe…latihan soal dan pembahasan integral subtitusi aljabar dan trigonometrinya dicukupkan dulu yaaaaaa….kapan-kapan ditambah lagi soalnya….
Selamat belajar ………..!!!!
sumber: www.meetmath.com
Diposting oleh di 2 komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)