Sabtu, 14 April 2012

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai bukan? bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri?

mari kita pahami rumusnya serta  berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian….

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya….
dimana f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h} maka
Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :

f(x) = sin\:x maka f'(x)= cos\:x
f(x) = cos\:x maka f'(x)= - sin\:x
f(x) = a.sin\:(bx+c) maka f'(x)= ab.cos\:(bx+c)
f(x) = a.cos\:(bx+c) maka f'(x)= -ab.sin\:(bx+c)
contoh:
1.\:f(x)= 3cos\:x maka f'(x)=-3sin\:x

2.\:f(x)=2sin\:5x maka f'(x)=10cos\:5x

3.\:f(x)=4.cos(3x+\pi)
\begin{array}{rcl}f'(x) & = & {-4}.3.sin(3x+\pi)\\ & = & {-12}.sin(3x+\pi)\end{array}


Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….

1.\:f(x)=sec\:x tentukan f ‘(x) !
jawab
\begin{array}{rcl}f(x) & = & sec\:x\\ & = & \frac{1}{cos\:x}\end{array}
\begin{array}{lcl}u=1 & maka & u'=0\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}
\begin{align*}f'(x) & = & \frac{u'.v-v'.u}{v^2}\\ & = & \frac{0.cos\:x-(-sin\:x).1}{(cos\:x)^2}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos^2\:x}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos\:x}.\frac{1}{cos\:x}\\ & = & tan\:x.sec\:x\end{align*}
2.\:f(x)=(x^2+2).sin\:x tentukan f ‘(x)!
jawab:
\begin{array}{lcl}u=x^2+2& maka & u'=2x\\v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 2x.sin\:x+cos\:x.(x^2+2)\\ & = & 2x\:sin\:x+x^2.cos\:x+2\:cos\:x\end{array}

Turunan ke-n
diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ‘(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f ”(x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f ”’(x) dst.
1.\:f(x)=4x^2.cos\:x tentukan turunan kedua dari f(x)!
jawab.
*kita cari turunan pertama  dulu ya..
\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.cos\:x+(-sin\:x).4x^2\\ & = & 8x.cos\:x-4x^2.sin\:x\end{array}
*perhatikan untuk f'(x)=8x.cos\:x-4x^2.sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f ‘(x) adalah a  dan b dimana f ‘(x) = a – b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ”(x) = a’ – b’ mari kita cari turunan masing-masing suku…
*ambil suku pertama dari f ‘(x) kita misalkan a=8x.cos\:x
\begin{array}{lcl}u=8x & maka & u'=8\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8.cos\:x+(-sin\:x).8x\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x\end{array}
*ambil suku kedua dari f ‘(x) kita misalkan b=4x^2.sin\:x
\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}b' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.sin\:x+(cos\:x).4x^2\\ & = & 8x.sin\:x+4x^2.cos\:x\end{array}
*nah, kembali ke f''(x)=a'-b'
\begin{array}{rcl}f ''(x) & = & a'-b'\\ & = & (8.cos\:x-8x.sin\:x)-(8x.sin\:x+4x^2.cos\:x)\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x-8x.sin\:x-4x^2.cos\:x\\ & = & 8.cos\:x-16sin\:x-4x^2.cos\:x\end{array}
selesai,deh…..coba yang lain yuk!
2.\:f(x)=x.cos\:x+sin\:x tentukan turunan ke-empat dari f(x) !
jawab:

*f(x)=x.cos\:x+sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f ‘(x) = a ‘ + b ‘ cari turunan masing-masing suku dulu ya…
a=x.cos\:x
\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.cos\:x+(-sin\:x).x\\ & = & cos\:x-x.sin\:x\end{array}
b=sin\:x maka b'=cos\:x
\begin{array}{rcl}f'(x) & = & a'+b'\\ & = & (cos\:x-x.sin\:x)+(cos\:x)\\ & = & 2.cos\:x-x.sin\:x\end{array}
*f'(x)=2.cos\:x-x.sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ”(x) = c ‘ – d ‘
c=2.cos\:x maka c'=-2.sin\:x
d=x.sin\:x
\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}d' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.sin\:x+cos\:x.x\\ & = & sin\:x+x.cos\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}f''(x)& = & c'-d'\\ & = & (-2.sin\:x)-(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {-2}.sin\:x-sin\:x-x.cos\:x\\ & = & {-3}.sin\:x-x.cos\:x\end{array}
*f''(x)=-3.sin\:x-x.cos\:x mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas a=x.cos\:x maka a'=cos\:x-x.sin\:x
sehingga
\begin{array}{rcl}f'''(x) & = & {-3}.cos\:x-(cos\:x-x.sin\:x)\\ & = & {-3}.cos\:x-cos\:x+x.sin\:x\\ & = & {-4}.cos\:x+x.sin\:x\end{array}
*f'''(x)={-4}.cos\:x+x.sin\:x mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas d=x.sin\:x maka d'=sin\:x+x.cos\:x
sehingga
\begin{array}{rcl}f''''(x) & = & {-4}.(-sin\:x)+(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {4}.sin\:x+sin\:x+x.cos\:x\\ & = & {5}.sin\:x+x.cos\:x\end{array}
waaaaah…..selesai !!!!
begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!!
ada yang bertanya soal seperti ini:
3. Jika diketahui y=sin\:x buktikan bahwa turunan ke-n yaitu y^n=sin(x+\frac{\pi}{2}.n) !
jawab:
*ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran
y=sin\:x
y'=cos\:x =\:sin(\frac{\pi}{2}+x)
=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.1)
y''=-sin\:x =\:sin({\pi}+x)
=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.2)
y'''=-cos\:x =\:sin(\frac{3.\pi}{2}+x)
=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.3)
y''''=sin\:x =\:sin({2.\pi}+x)
=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.4)
… …
dst
… …
dst

… …
dst
sehingga y^n=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.n)
terbukti

Untuk contoh latihan soal dan pembahasannya di soal turunan 3 : trigonometri yah…. ^^
sumber: www.meetmath.com

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar